home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Language/OS - Multiplatform Resource Library / LANGUAGE OS.iso / dsp / dspgroup / 00index.arc / CISDSP.ARC / CRES2.TXT next >
Encoding:
Text File  |  1988-07-28  |  6.1 KB  |  124 lines
  1. Results of (n,m)-ary FSK Phase Optimization Experiment     4/23/88 11am
  2. Franklin Antonio, N6NKF
  3. (this is a working paper -- do not republish)
  4.  
  5. The idea was to find relative phases of three sinusoids, such that when they
  6. are added, the peak-to-average envelope ratio of the result is held as low
  7. as possible.
  8.  
  9. This problem arises out of the desire to use a modulation where during each
  10. modulation symbol time, n out of a possible m tones are transmitted
  11. (ie (n,m)-ary FSK).  Power amplifiers in SSB rigs are peak-power-limited,
  12. so the peak-to-average envelope ratio, (PAR), if greater than 1, will force us 
  13. to reduce the average power level at the transmitter.  If some parameter, say
  14. for example, the relative phases of the n tones, could be chosen to minimize
  15. PAR, and thus allow us a higher average power, then it should be.  In the 
  16. previous writeup, i argued that peak-to-average envelope is the right measure 
  17. to use, and developed equations from which PAR can be calculated given the 
  18. frequencies and phases of the tones.
  19.  
  20. In the previous writeup (CREST.TXT) i showed that for the (2,m)-ary FSK case,
  21. PAR always = sqrt(2), no matter what phases are used.  This means you can't
  22. choose optimum phases in the two-tone case, 'cause there aren't any.
  23.  
  24. In the three tone case, i derived eqn-16, for the envelope of a unit power 
  25. three-tone signal as a function of the frequencies and phases of the three 
  26. tones.  Because the signal is unit power, this is the PAR directly, ie we don't
  27. have to divide by the RMS power.  I sure hope this equation is correct.
  28.  
  29.  a(t) = sqrt[ 1 + (2/3)*cos((W1-W2)*t+(P1-P2))                           (16)
  30.                 + (2/3)*cos((W2-W3)*t+(P2-P3))   
  31.                 + (2/3)*cos((W3-W1)*t+(P3-P1))  ]
  32.  
  33. For any values of W1,W2,W3,P1,P2,P3, PAR is simply this equation, maximized
  34. over all values of t in [0,2pi].  Assuming we want to transmit (3,10)-ary FSK, 
  35. we want to try all combinations of three out of 10 tones.  That is, we want
  36. to try every combination of W1,W2,W3 chosen from [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10],
  37. and for each such case, find optimum phases and the resulting PAR.
  38.  
  39. I wrote a Fortran program to do this.  The program uses a brute force search 
  40. procedure.  The program assumed P1=0, and did it's two-dimensional search over 
  41. P2 & P3 in [0,2pi].  (There are really only two free variables, because it's 
  42. the relative phases that matter.)  To verify that this program was running 
  43. correctly, i made an Excel spreadsheet into which i could pop the resulting 
  44. frequencies and phases, and get on-screen plots of the resulting waveforms.  
  45. (I ran the optimizing program on the IBM-AT, and did the spreadsheet on the 
  46. MAC+.)  Hopefully, this verifies correctness of eqn-16, and the optimization
  47. program.  (but feel free to verify this yourself)
  48.  
  49. Here are some of the results.  The first three columns are the frequencies, 
  50. the next three are the optimum phases, and finally, the PAR.  Remember, PAR = 1
  51. = 0 db is as good as a single sinusoid, while PAR = sqrt(3) = 1.73 = 4.77 db 
  52. is as bad as it is possible to do with three sinusoids, at the worst possible 
  53. phases.  You will note that the P1 column is always 0.  
  54.  
  55. [For those of you who think in terms of 'crest factor'... Crest factor is
  56. defined including another sqrt(2), so you can add 3 db to all the PAR's   ]
  57.  
  58. The first case that cranked out was encouraging...
  59.  
  60.     W1 W2 W3    P1    P2      P3        PAR
  61.  
  62.     1  2  3   .0000  2.356  1.570      1.291
  63.  
  64. That's not bad.  20*log10(1.29) = 2.2 db.  An encouraging result.  Ok, one
  65. down, 119 cases left to try.  Another interesting point, is that all the
  66. other cases with equally-spaced tones, ie the triplets [2,3,4], [3,4,5],
  67. [4,5,6],...[1,3,5],[2,4,6],...[1,4,7],[2,5,8],...[1,5,9],[2,6,10], all have
  68. optimum phases which produce a PAR = 1.29 .
  69.  
  70. Here are some more of the results...
  71.  
  72.     1  2  4   .0000  2.356  3.926      1.533
  73.     1  2  5   .0000  .0000  3.141      1.622
  74.     1  2  6   .0000  1.571  4.712      1.664
  75.         1  2  7   .0000  .7854  1.571      1.683
  76.     1  2  8   .0000  .0000  3.141      1.693
  77.     1  2  9   .0000  1.571  3.141      1.699
  78.         1  2 10   .0000  .0000  3.141      1.710
  79.     ...
  80.     1  3  4   .0000  1.571  .7854      1.534
  81.     1  3  5   .0000  .0000  3.141      1.289
  82.     1  3  6   .0000  .0000  1.571      1.657
  83.     1  3  7   .0000  1.571  1.571      1.531
  84.     1  3  8   .0000  1.571  .7854      1.692
  85.     ...
  86.     3  4  5   .0000  1.963  .7854      1.291
  87.     3  4  6   .0000  1.571  1.571      1.535
  88.     3  4  7   .0000  .3927  4.712      1.624
  89.     3  4  8   .0000  .0000  3.141      1.665
  90.     3  4  9   .0000  .0000  3.141      1.686
  91.     3  4 10   .0000  .3927  5.890      1.699
  92.  
  93. Some patterns emerge.  First, all those phases look familiar, don't they?
  94. They're simple rational numbers * pi.  0.3927 = pi/8, for example.  Makes me
  95. wish i had solved the thing algebraically.  As a practical matter, of course,
  96. brute force computer generated numbers are as good as any.
  97.  
  98. There are multiple solutions, ie multiple values of P2,P3 that achieve the 
  99. same PAR.  For example, whenever W1=1 & W2=2, the phases (0,0,pi) are also 
  100. solutions.  The computer simply picks one of the possibilities.  It also
  101. appears that whenever W1=1 & W2=3, one of the following sets of phases (but not
  102. both): (0,0,pi) or (0,0,pi/2) always works.  I haven't tried to prove this.  
  103. I just discovered it while playing around.
  104.  
  105. Notice that as the spacing between the tones becomes more disparate, the 
  106. best achievable PAR gets worse and worse.  For most choices of frequencies, in 
  107. fact, the best possible PAR is very very close to the worst possible PAR.
  108.  
  109.     1.710    -->  4.66 db    best possible for tones @ 1,2,10
  110.     sqrt(3)  -->  4.77 db    worst possible any 3 tone freq & phase
  111.  
  112.  
  113. Conclusion:
  114.  
  115. A few combinations of tones have optimized phases that can reduce the peak-to-
  116. average by as much as 2.6 db (ie reduce from 4.7 db for naive adding, to 2.2 db
  117. as in the case of the optimized 1-2-3 signal).  Unfortunately, there are many 
  118. other combinations of tones for which the optimum is within a few percent of 
  119. the worst possible choice of phases.
  120.  
  121. My conclusion, at this point, is that optimization of phases in a 3-tone signal
  122. is NOT worthwhile.  
  123.  
  124.